第二百一十七章橋的題
張方平看了看身側那位師爺,那師爺也是一副匪夷所思的神情,便又轉回頭來:"你先說說看."
蘇油說道:"這類題型,我們管它叫剩余理論.簡單易懂的解法如下:先列出除以三余二的數:二,五,八,十一……"
"再列出除以五余三的數:三,八,十三,十八……"
"這兩列數中,首先出現的公共數--八."
"三與五的最小公倍數是十五,兩個條件合並成一個,就是十五的整數倍,再加上八."
"列出這一串數是:八,二十三,三十八……"
"再列出除以七余二的數二,九,十六,二十三,三十……"
"這就得出符合題目條件的最小公共數--二十三."
"當然這是傻解,此題其實還有另有一種解法,有個歌訣說明:三人同行七十稀,五樹梅花廿一枝,七字團圓月正半,除百零五便得知."
"第一句,三人同行七十稀,意思是說把該數除以三,所得余數用七十相乘."
"第二句,五樹梅花廿一枝,是把該數除以五,所得余數用二十一乘."
"第三句,七子團圓月正半,是把該數除以七,所得余數用十五乘."
"第四句,除百零五便得知,則把上述三積加起來減去一百零五的倍數,所得差即所求之數."
"如果用土地廟的算式列式的話……"
說完從書包里翻出本子和鉛筆,刷刷刷寫了一個算式:"喏,就是這樣了."
那師爺將本子取過,見上邊寫著:2×70+3×21+2×15=233,233-105×2=23.
師爺居然能看懂這個神奇的算式,拱手小心問道:"敢問公子,七十,二十一,十五,這幾個數何來?為何分以二,三,二乘之?之後因何要減去一百零五?"
蘇油笑道:"七十除以三余一,可被五,七整除;所以七十的兩倍,能夠除以三余二,也被五,七整除,就滿足了第一個余數條件,而不用考慮後兩個余數;
"同理,二十一除以五余一,同時可被三,七整除;所以二十一的三倍能夠除以五余三,同時還能也被三,七整除;這就滿足了第二個余數條件,而不用考慮第一,第三個余數;"
"十五除以七余一,同時可被三,五整除,因而十五的兩倍,能除以七余二,同時可被三,五整除;這就滿足了第三個余數條件,而無需考慮第一,第二個余數條件."
"前三句詩分別說明這種情況,再將它們加到一起,這就既滿足了該題前面整除部分,又滿足了後面三個余數條件部分."
師爺恍然大悟:"妙極!這思路絕了!"
蘇油笑道:"該數已經是答案了,但不是最小答案,因而還要減去三個數的公倍數,也就是一百零五或者它的倍數,減到不可再減,才是最小答案,這就是最後一句詩的意思."
師爺興奮得手舞足蹈:"這才是至理!這才是至理!以前的拼湊之法只能解得一題,如果數字過大,那就得耗時費力.今得此法,所遇類題皆可解之!妙極!簡直是奇思妙想!"
說完又眼巴巴地看著蘇油:"公子,剛剛你說這題是一類……你肯定還知曉好多此類題對不對?"
蘇油說道:"可見先生也是好學之人,我就給你寫幾道吧."
說完在本子上刷刷刷寫了幾道.
今有物未知數,五五數之余二,七七數之余二,九九數之余四,問物幾何?
韓信點兵,三人一組余兩人,五人一組余三人,七人一組余四人,問兵幾何?
今有物未知數,三三數之余二,四四數之余一,問十二數之余幾?
師爺的心算能力相當厲害,抓起蘇油的鉛筆一邊看題一邊列式,唰唰就將前兩道題解了出來,開心得大呼小叫.
等到一看第三道,又傻眼了:"呃,公子,這第三題,和前邊的各題不一樣啊……"
蘇油結過筆來,輕笑道:"其實還是一類,只是有了些許的小變化,這叫拓展題型--來我解給你看啊……喏,明白了?其實還是不離其宗,知道了解法,這種題是難不住人的."
那師爺連連作揖:"多謝公子,多謝公子,實乃神算!"
蘇油笑道:"我大宋善于數學之人,那是車載斗量,我不算什麼的.只不過數學這東西難于傳播,因而你不知曉罷了,其實對于有數學基礎的人來說,這就是一層窗戶紙,一點就透."
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那師爺滿臉討好之色:"公子此言過于謙虛了,這可是朝廷明算科的考題,而且大宋考生,多有以文字功夫應試的,靠的就是死記硬背記答案過關."
"老夫倒是聽說過我大宋有一等聰明之士,能以一法解一類,那都是天才,不料今日當面得見,真讓人喜出望外."
張方平手扶額頭,哭笑不得地對蘇洵說道:"都不知道這到底是誰在考誰……"
師爺扭頭笑道:"小公子哪里還需考較,當我師父都當得,我那題簡直就是貽笑大方……"
張方平調笑道:"休得長他人志氣滅自己威風!去把另一道題拿來."
師爺"啊"了一聲:"哪道?"
張方平擠了擠眼:"那道石料估算的."
師爺說道:"明公,那是……"
張方平一瞪眼:"快去!"
師爺忙不迭地應下,沒一會抱了一卷圖紙進來:"這個,請小公子一觀."
蘇油將圖紙打開,上面是一座拱橋.
師爺說道:"公子你看,這是一座拱橋,跨河面九丈,橋最高處離水面兩丈,橋闊一丈五,需要算出鋪設橋面,需用多少石料."
蘇油說道:"這個比剛才那個可簡單多了."
蘇洵聽得腦袋發漲,感覺不親自去橋面丈量,這是不可能的事情:"明潤!休得胡言亂語!"
蘇油從書包里取出圓規和直尺,在本子上畫了個圖:"先不看橋的寬度,是不是可以將這道題簡化成這樣?知道圓弧的弦長,知道拱高,求圓弧的弧長?"
這圖簡單明了,圍過來的眾人都點頭.
蘇油笑道:"這需要知道幾個定理,首先是圓上任意一點,與直徑兩端連線,其夾角是直角,我們可以證明如下."
說完給眾人講解證法.
張方平還有些懷疑,拿圓規另畫了幾個圓,然後用鉛筆和直尺連了一下:"果真如此."
蘇油笑道:"明公,這門學問叫幾何,使用的語言叫邏輯,類似堅白之論."
"對于平面幾何來說,只有少數幾個基本真命題,我們土地廟稱之為公理."
說完在紙上書寫起來:"比如:任意一點到另外任意一點可以畫一條直線.是吧?"
眾人點頭.
"又比如,一條有限線段可以繼續延長,是吧?"
眾人再次點頭.
"另外還有三條."
"以任意點為心及任意的距離可以畫圓;"
"凡直角都彼此相等;"
"同平面內一條直線和另外兩條直線相交,若在某一側的兩個內角和小于二直角的和,則這二直線經無限延長後在這一側相交."
眾人都覺得這些東西再簡單不過,不知道這娃為啥要提這些.
蘇油說道:"有了這五條公理,我們可以推導出無數的定理.定理是可以通過公理邏輯限制,經過演繹和推導,證明其為正確的命題或者公式."
"比如剛剛我們證明了圓上直角,那它就成為了一條定理,定理也是真命題,因此無論張公如何畫,在我給出的條件下,都只能畫出直角來."
張方平也是聰明絕頂之人:"難怪古今無數人癡迷于數學.這是求究萬世不移之理!"
蘇油拱手道:"張公明見,要移它,只有一種可能."
說完一指紙上寫下的五條公理:"除非它們是錯誤的!"
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